«Чаще всего студенты спрашивают о математике: „И когда мне это пригодится?“ Многие учителя не придумают ничего лучше, чем сказать: „Научишься хорошо следовать инструкциям“. Они ответят что-то невнятное про „критическое мышление“», — объясняет проблему Кун (mathematics PhD). Чтобы решить эту проблему, автор составил список из шести «привычек математически мыслящих людей». Логические навыки, которые помогут в жизни человеку любой профессии и интересов.

Обсуждать определения. «Каждому приходится иметь дело с новыми определениями, будь то новое определение брака или гендера, или юридические определения „намерения“, „разумности“ или „частной жизни“», — напоминает Кун. Понимать, кто что подразумевает под каждым словом — необходимое умение в любом контексте, которое прививает математика. Автор приводит здесь известную формулировку о войне в Ираке: «У нас есть весомые основания полагать, что в Ираке есть оружие массового поражения». Математик сразу же спросил бы, что такое «весомые основания» и «оружие массового поражения».

Приводить контрпримеры. Примеры и контрпримеры помогают формулировать, осмысливать определения. Важнее, однако, то, что с помощью примеров мы проверяем утверждения. Чаще всего в математике пример, подтверждающий гипотезу, на самом деле доказывает ее справедливость лишь в конкретном случае, а вот контрпример сразу ее опровергает. В своих рассуждениях математики движутся от примера к примеру, и раз за разом обнаруживают свою неправоту. «Контрпримеры — как знаки на этом пути», — пишет Кун. Пропустив через себя огромное количество ошибочных суждений, математик вряд ли примет на веру утверждение, подкрепленное только харизмой политика или культурными стереотипами.

Часто ошибаться и признавать свои ошибки. «Часто сомневаться, ошибаться и признавать ошибку — это отличает математический дискурс даже от всеми воспетого научного дискурса», — пишет Кун. В математике, где нет места мнению, сплошь и рядом ситуации, когда спорщики меняют свои позиции на противоположные в ходе дискуссии, и не один раз. За этим не стоит никаких эмоций или ущемленной гордости. Холодная логика и опыт ошибок учат спокойнее относиться к своим неудачам за пределами лаборатории.

Оценивать следствия из утверждения. «Рассмотрение пределов утверждения — хлеб насущный математика. Это один из простейших инструментов для оценки состоятельности утверждения, прежде чем погружатсья в детали». Иногда, развив идею, ты находишь более элегантную гипотезу. Чаще, утверждение доходит до абсурда: автор приводит анализ конспирологических теорий убийства Джона Кеннеди. Если это был гигантский заговор, то, наверное, он мог предотвратить само избрание президента, и вряд ли заговорщики разошлись по домам, когда достигли цели — с такими ресурсами они могли бы продолжать плести интриги и править из-за кулис.

Разбирать допущения, на которых строится утверждение. Когда два математика разговаривают, они формулируют утверждения максимально понятно друг другу, а значит без общего с ними культурного фона третий собеседник их не поймет. Ему необходимо задавать вопросы: «Что означают эти слова в этом контексте? Какие другие варианты вы отбросили и почему?» Цель здесь — устранить любое непонимание. «Кто попытался понять мировоззрение Дональда Трампа? Большинство либералов слышит: „Я построю стену и заставлю Мексику за нее заплатить“, — и считают его психом. Как математик, вы сначала должны попробовать понять, откуда это утверждение взялось. К кому Трамп обращается? Какие альтернативные решения проблемы иммиграции он рассмотрел и отбросил, и почему? Почему иммиграция имеет такое значение для его сторонников? Какие допущения с его стороны заставляют его так говорить?», — приводит Кун пример из нынешней предвыборной кампании.

Карабкаться по лестнице абстракции. Каждую проблему можно рассматривать на разных уровнях. Где-то нужно углубиться в мельчайшие детали и разобрать каждое определение. Потом можно отдалиться и рассмотреть менее важные аспекты лишь в общих чертах. Если что-то вызывает вопросы, может понадобиться углубиться уже в другой области. Математика учит свободно двигаться между этими уровнями анализа и в итоге синтезировать общую картину.

В заключение Джереми Кун напоминает, что эти шесть принципов нужно применять осторожно. «Набожное следование этим принципам в любой ситуации приведет к тому, что люди будут считать вас занудой». Важно понимать, когда действительно необходимо «включить внутреннего математика».

Джереми Кун, Иллинойсский Университет, Чикаго, США (блог автора)

Источник